מעניין

מתי אתה משתמש בהפצה בינומית?

מתי אתה משתמש בהפצה בינומית?

חלוקות הסתברות בינומית מועילות במספר הגדרות. חשוב לדעת מתי יש להשתמש בהפצה מסוג זה. נבחן את כל התנאים הנחוצים על מנת להשתמש בתפוצה בינומית.

התכונות הבסיסיות שעלינו להיות הן בסך הכל n נערכים ניסויים עצמאיים ואנחנו רוצים לברר את ההסתברות ל r הצלחות, כאשר לכל הצלחה יש הסתברות ע של התרחשות. יש כמה דברים שנאמרו ומרומזים בתיאור קצר זה. ההגדרה מסתכמת בארבעת התנאים הללו:

  1. מספר קבוע של ניסויים
  2. ניסויים עצמאיים
  3. שתי סיווגים שונים
  4. ההסתברות להצלחה נשארת זהה בכל הניסויים

על כל אלה להיות נוכחים בתהליך הנבדק על מנת להשתמש בנוסחת ההסתברות הבינומית או בטבלאות. להלן תיאור קצר של כל אחד מאלה.

ניסויים קבועים

התהליך הנחקר חייב להכיל מספר מוגדר בבירור של ניסויים שאינם משתנים. איננו יכולים לשנות את המספר הזה באמצע הניתוח שלנו. כל ניסוי חייב להתבצע באותה צורה כמו כל האחרים, אם כי התוצאות עשויות להשתנות. מספר הניסויים מסומן על ידי n בנוסחה.

דוגמה לביצוע ניסויים קבועים לתהליך הייתה כרוכה בחקר התוצאות של גלגול למות עשר פעמים. כאן כל גליל למות הוא משפט. המספר הכולל של הפעמים שכל ניסוי נערך מוגדר כבר מההתחלה.

משפטים עצמאיים

כל אחד מהניסויים צריך להיות עצמאי. לכל משפט לא אמור להיות שום השפעה על אף אחד מהאחרים. הדוגמאות הקלאסיות לגלגול שתי קוביות או להעיף כמה מטבעות ממחישות אירועים עצמאיים. מכיוון שהאירועים אינם תלויים אנו מסוגלים להשתמש בכלל הכפל בכדי להכפיל את ההסתברויות יחד.

בפועל, במיוחד בגלל טכניקות דגימה מסוימות, יכולים להיות זמנים שבהם הניסויים אינם תלויים מבחינה טכנית. ניתן להשתמש בהפצה בינומית לפעמים במצבים אלה כל עוד האוכלוסייה גדולה יותר יחסית למדגם.

שני סיווגים

כל אחד מהניסויים מקובץ לשתי סיווגים: הצלחות וכישלונות. למרות שאנחנו בדרך כלל חושבים על הצלחה כדבר חיובי, אנחנו לא צריכים לקרוא יותר מדי למונח זה. אנו מצביעים על כך שהמשפט הוא הצלחה בכך שהוא תואם את מה שקבענו לכנות הצלחה.

כמקרה קיצוני כדי להמחיש זאת, נניח שאנחנו בודקים את שיעור הכישלון של נורות. אם אנו רוצים לדעת כמה בקבוצה לא תעבוד, נוכל להגדיר את ההצלחה שהניסיון שלנו יהיה כשיש לנו נורה שלא מצליחה לעבוד. כישלון המשפט הוא כאשר הנורה עובדת. זה אולי נשמע מעט לאחור, אבל יתכנו כמה סיבות טובות להגדרת ההצלחות והכישלונות של המשפט שלנו כפי שעשינו. למטרות סימון יתכן ועדיף להדגיש כי קיימת סבירות נמוכה לכך שהנורה לא תעבוד ולא הסתברות גבוהה לכך שהנורה תעבוד.

אותן הסתברויות

ההסתברות לניסויים מוצלחים חייבת להישאר זהה לאורך כל התהליך בו אנו לומדים. הדגמת מטבעות היא דוגמא אחת לכך. לא משנה כמה מטבעות מושלכים, ההסתברות להחליף ראש היא 1/2 בכל פעם.

זהו מקום אחר בו התיאוריה והפרקטיקה מעט שונים זה מזה. דגימה ללא החלפה יכולה לגרום להסתברות מכל ניסוי להשתנות מעט זו מזו. נניח שיש 20 ביגלים מתוך 1000 כלבים. ההסתברות לבחור ביגל באופן אקראי היא 20/1000 = 0.020. עכשיו בחר שוב מבין הכלבים שנותרו. ישנם 19 ביגלים מתוך 999 כלבים. ההסתברות לבחור ביגל אחר היא 19/999 = 0.019. הערך 0.2 הוא אומדן מתאים לשני המחקרים הללו. כל עוד האוכלוסייה גדולה מספיק, הערכה מסוג זה אינה מהווה בעיה בשימוש בהתפלגות הבינומית.